Matemáticas II · Selectividad y Bachillerato

Dojo de Matemáticas: aprende Matemáticas II jugando

Resuelve paso a paso los problemas de Matemáticas II de Selectividad: sistemas con parámetro, derivadas, integrales, límites, probabilidad y matrices.

El Dojo de Matemáticas entrena los problemas de Matemáticas II de Selectividad resolviéndolos por pasos, que es como se corrigen en el examen: no se puntúa el resultado final, se puntúan los pasos. El banco cubre seis bloques —sistemas con parámetro, derivadas, integrales, límites, probabilidad y matrices— repartidos en tres niveles, y cada nivel cambia el número de problemas de la tanda y el tipo de problema que entra. No hay reloj: escribes tu expresión y se compara algebraicamente al instante, así que cualquier forma equivalente vale. Cuando aciertas un paso, o cuando agotas los intentos, ves el desarrollo escrito de ese paso; al terminar cada problema, qué se aprende con él y el truco de examen. Esas explicaciones están escritas y revisadas, no generadas por IA.

Jugar gratis

Qué practicas con Dojo de Matemáticas

  • Discusión de sistemas según el parámetro
  • Derivadas, integrales y límites paso a paso
  • Probabilidad total y teorema de Bayes
  • Determinantes, rango y ecuaciones matriciales

Cómo se juega

Cada problema se resuelve por pasos y el dojo valida tu álgebra al instante, admitiendo cualquier forma equivalente. Al acertar (o al agotar los intentos) ves el desarrollo escrito del paso. Ilimitado y sin registro.

Por qué cuesta matemáticas ii

El fallo casi nunca está en la cuenta, está en el paso intermedio que se salta. En un sistema con parámetro se lee que el determinante se anula y se concluye que el sistema es incompatible, cuando anular el determinante solo dice que el rango de la matriz de coeficientes baja: para saber si ese caso es incompatible o compatible indeterminado hay que comparar el rango de A con el de la ampliada A*. En probabilidad condicionada se confunde P(positivo si enfermo) con P(enfermo si positivo), que con una enfermedad poco frecuente se diferencian en un orden de magnitud. Y en una integral por partes se elige mal quién hace de u y el problema no se cierra nunca. Por eso el dojo valida cada paso por separado en lugar de pedir solo el resultado.

Tres problemas del Dojo, paso a paso

Problemas reales del banco del juego, uno por nivel, con la solución de cada paso.

  1. Nivel fácil. Límite: lim (x → 2) de (x² − 4)/(x − 2). Paso 1: factoriza el numerador. Paso 2: ¿cuánto vale el límite?

    Respuesta: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), y el límite vale 4

    Al sustituir x = 2 se anulan numerador y denominador: eso significa que comparten el factor (x − 2). Cancelándolo queda x + 2, cuyo límite en x = 2 es 4. Que el denominador se anule no implica asíntota vertical si el numerador se anula también.

  2. Nivel medio. Sistema: x + y + z = 3; x + 2y + 3z = 4; 2x + 3y + az = 7. Paso 1: determinante de la matriz de coeficientes en función de a. Paso 2: valor crítico. Paso 3: discute el caso crítico.

    Respuesta: det(A) = a − 4; el valor crítico es a = 4; y con a = 4 el sistema es compatible indeterminado

    det(A) = 1·(2a − 9) − 1·(a − 6) + 1·(3 − 4) = a − 4, que se anula en a = 4. Con a = 4 la tercera fila de la ampliada, (2, 3, 4 | 7), es la suma de las dos primeras, así que rg(A) = rg(A*) = 2 < 3 incógnitas: infinitas soluciones. Anular el determinante no significa incompatible; hay que comparar los dos rangos.

  3. Nivel difícil. Un test detecta una enfermedad que tiene el 1 % de la población; acierta en el 99 % de los enfermos y en el 95 % de los sanos. Paso 1: ¿probabilidad de que un test dé positivo? Paso 2: ¿probabilidad de estar enfermo si el test da positivo?

    Respuesta: P(+) = 0,0594 y P(enfermo | +) = 1/6 ≈ 0,1667

    P(+) = 0,01·0,99 + 0,99·0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594. Por Bayes, P(E | +) = 0,0099/0,0594 = 1/6. De cada 10.000 personas hay 99 verdaderos positivos y 495 falsos positivos: con prevalencia baja, un test muy fiable produce sobre todo falsos positivos. Confundir P(+ | E) con P(E | +) es el error clásico del bloque.

Estos son ejemplos fijos. En el juego cada partida genera ejercicios nuevos. Jugar a Dojo de Matemáticas

Preguntas frecuentes

Por el teorema de Rouché-Frobenius, cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada pero es menor que el número de incógnitas. Entonces hay infinitas soluciones, que dependen de tantos parámetros como la diferencia entre el número de incógnitas y el rango. Si los dos rangos coinciden y valen el número de incógnitas es compatible determinado, y si los rangos son distintos el sistema es incompatible.
Entonces el rango de la matriz de coeficientes es máximo siempre, los dos rangos coinciden con el número de incógnitas y el sistema es compatible determinado sea cual sea el parámetro. En ese caso puedes resolverlo por la regla de Cramer o por matriz inversa, y la discusión se reduce a justificar que el determinante nunca vale cero.
Porque el comportamiento del sistema solo cambia en esos valores. Para cualquier otro valor el determinante es distinto de cero y el caso queda resuelto de golpe. En cambio, en cada valor crítico hay que sustituirlo en el sistema y recalcular a mano los rangos de A y de A*, porque dos valores críticos del mismo problema pueden dar resultados distintos: uno incompatible y otro compatible indeterminado.
En el nivel fácil entran límites, derivadas, matrices y probabilidad con mecánica directa, y la tanda es de tres problemas. En el nivel medio entran los seis bloques con problemas de nivel EVAU estándar, y la tanda es de cuatro. En el difícil la tanda es de cinco y entran los problemas largos: la discusión completa de un sistema con dos valores críticos que dan resultados distintos, extremos relativos con exponencial, integrales por partes y por fracciones simples, Bayes con prevalencia baja y ecuaciones matriciales. El nivel también cambia cuántos intentos tienes antes de que se te enseñe la solución del paso: uno en fácil, dos en medio y tres en difícil.
No. Cuando el paso pide una expresión se compara algebraicamente, así que las formas equivalentes se dan por válidas: da igual que escribas el determinante desarrollado o factorizado. Cuando pide un valor puedes escribir una fracción o una expresión, por ejemplo 1/6 en lugar de 0,1667. Cuando pide varios valores se comparan como conjunto, separados por comas y sin importar el orden. Escribe el parámetro como lambda y apóyate en el teclado matemático, que trae los símbolos que el móvil no tiene a mano.
Sí, Dojo de Matemáticas es totalmente gratis y puedes jugar sin registro y sin límite.

Más juegos de Selectividad y Bachillerato

Análisis SintácticoLenguaAnálisis MorfológicoLenguaLinguist-ProComentario de texto

Juega y aprende Matemáticas II

Gratis, sin registro y sin límite.

Jugar a Dojo de Matemáticas